Costante di Boltzmann: quello che devi sapere

Costante di Boltzmann, permeabilità magnetica, entropia di un macrostato, energia cinetica media di una molecola e costante universale dei gas: sono termini e concetti per molti incomprensibili, ma fondamentali per chi ha deciso di intraprendere una strada ‘professionale’ che passa attraverso lo studio della chimica.

Se per esigenze di studio, per cultura personale o per qualsiasi altro motivo desideri avvicinarti alle formule e alle equazioni afferenti alla meccanica statistica, ti consigliamo di soffermarti qualche minuto su questa pagina.

L’Università Telematica Niccolò Cusano di Milano ha realizzato una guida sintetica che ti condurrà alla scoperta di un mondo tanto affascinante quanto complesso.
L’articolo è strutturato in maniera tale da fornirti una panoramica generale della materia; partiremo da una breve biografia del fisico austriaco Boltzmann per arrivare ai campi di applicazione della costante che porta il suo nome.

Buona lettura!

Chi era Boltzmann

Prima di addentrarci nel dettaglio della costante, dei calcoli e dei valori, è d’obbligo una breve panoramica biografica di colui ha formulato l’equazione che tutt’oggi riporta il suo nome.

Ludwig Boltzmann nasce a Vienna il 20 febbraio del 1844 e muore suicida a Duino il 5 Settembre del 1906.

È considerato uno dei più grandi fisici teorici della storia, ma in realtà è stato molto di più: per quanto le sue idee innovative sono state spesso osteggiate, ha portato importanti contributi anche nel campo della matematica e della filosofia.

Tra le sue teorie più innovative ricordiamo quella sull’entropia che, secondo il fisico austriaco, era la misura della disorganizzazione (caos).
L’affermazione fu, all’epoca, considerata rivoluzionaria, in quanto introduceva nella fisica l’interpretazione della realtà basata su considerazioni ‘statistiche’.

La sua notorietà è legata in particolare alla ricerca nel campo della termodinamica e della meccanica statistica (equazione fondamentale della teoria cinetica dei gas e il secondo principio della termodinamica).

È stato soprannominato ‘terrorista algebrico’ per la sua spiccata tendenza verso la matematizzazione più estrema.

Equazioni di Boltzmann

Partiamo dalla definizione dell’equazione fornita da Wikipedia:

“l’equazione di Boltzmann, conosciuta anche come equazione di Boltzmann per il trasporto, formulata da Ludwig Boltzmann, descrive la distribuzione statistica delle particelle in un fluido. È una delle equazioni più importanti della meccanica statistica di non equilibrio, la branca della meccanica statistica che si occupa dei sistemi non approssimabili all’equilibrio termodinamico; per esempio, quando vi è applicazione di un gradiente di temperatura o di un campo elettrico.”

Si tratta, in altre parole, di un’equazione integro-differenziale non lineare, sviluppata per descrivere le dinamiche di un gas ideale.
Oltre a descrivere flussi di rarefazione arbitraria è fondamentale per studiare il trasporto degli elettroni in solidi e plasmi, di neuroni in reattori nucleari, di fononi in superfluidi e di radiazioni sia nelle atmosfere planetarie che in quelle stellari.

Per risultare appropriata l’equazione deve essere applicata ai gas diluiti; non risulta invece applicabile ai gas densi e ai liquidi, per i quali la teoria cinetica è molto più complessa.

Blotzmann ha elaborato un’equazione che relaziona una caratteristica dei macrostati con l’entropia ad essi relativi; ha scoperto che l’entropia di un macrostato aumenta all’aumentare del numero dei microstati che corrispondo a uno stesso macrostato.

La formula che sintetizza ed esprime quanto appena enunciato è la seguente:

S(A)=kB⋅ln(W(A))

Spiegazione dei simboli:

• A indica il macrostato
• W indica la sua molteplicità
• kB è una costante che vale 1,38⋅10−23JK

L’equazione conferma il fatto che se si lascia evolvere spontaneamente un sistema termodinamico, quest’ultimo tende ad assumere una configurazione disordinata.
Detto in parole più semplici il sistema tende ad evolversi verso forme ad entropia maggiore.

L’evoluzione di un sistema, in quanto casuale, si basa sulle leggi della probabilità; ogni microstato ha quindi la stessa probabilità di realizzazione degli altri.
Nel caso di macrostati la probabilità di realizzazione aumenta in quelli che hanno una conformazione più disordinata (molteplicità maggiore).

Campi di applicazione

L’applicazione dell’equazione trova riscontro in numerosi ambiti.
Si parte dall’impiego nella termodinamica per arrivare all’astrofisica; dallo studio dei corpi gassosi a quelli umani; dall’analisi dell’inquinamento alla progettazione di reattori nucleari.

La formula viene utilizzata per studiare il modo in cui un fluido trasporta quantità fisiche quali il calore e la carica; è quindi fondamentale per identificare le proprietà di trasporto (conducibilità elettrica, conduttività di Hall, viscosità, conducibilità termica).

In aerodinamica l’equazione è utilizzata per descrivere i flussi di rarefazione arbitraria.

La costante

Entriamo nel cuore del nostro paragrafo e cerchiamo di iniziare a familiarizzare con la costante di Boltzmann attraverso la definizione fornita da Wikipedia, che riportiamo integralmente di seguito:

“In meccanica statistica la costante di Boltzmann, k_B (anche indicata con k) è una costante dimensionale che stabilisce la corrispondenza tra grandezze della meccanica statistica e grandezze della termodinamica, per esempio tra temperatura ed energia termica o tra probabilità di uno stato ed entropia (teorema H).
Per ragioni storiche, ad esempio anche la temperatura assoluta è stata definita operativamente, e anche nel Sistema Internazionale è tradizionalmente misurata con unità proprie (come il kelvin e il rankine) sulla base di proprietà notevoli di alcuni materiali (nel caso del kelvin il punto triplo dell’acqua). La meccanica statistica sin dal lavoro pioneristico di Boltzmann ha però dimostrato che la temperatura è una forma di energia termica, ed è legata all’agitazione termica delle molecole di cui il materiale è composto.”

Partendo dalla definizione non è difficile individuare il preciso legame che esiste tra la quantità di calore posseduta da un gas (ovvero la sua energia) e la sua temperatura assoluta.

Per completare la panoramica teorica della materia aggiungiamo che lo studio delle proprietà dei gas rientra nel campo della meccanica statistica.

Il valore esatto della costante di Boltzmann, come già anticipato nel precedente paragrafo, è il seguente:

K = 1,3806488 ⋅ 10−23 J/K

L’unita di misura della costante, nel Sistema Internazionale, è J/K, dove J sta per ‘Joule’ mentre K indica il ‘Kelvin’.
Nel caso in cui vengano utilizzati altri sistemi la costante assume valori diversi da quello espresso sopra.
Nel dettaglio:

• energia cinetica espressa in elettronvolt
  8,6167 ⋅ 10-5 (eV / K)
• energia cinetica espressa in erg
  1,3806 ⋅ 10-16 (erg / K)

La formula viene utilizzata per calcolare l’energia cinetica media di una molecola; trova applicazione nel calcolo delle interazioni dipolo-dipolo, nella teoria cinetica dei gas e nella definizione statistica dell’entropia.

Il calcolo per determinare il valore della costante avviene tramite il rapporto tra la costante universale del gas, indicata con la lettera ‘R’, e il numero di Avogardo:

kB = R/NA

Chimica generale

La costante di Blotzmann e la relativa equazione rientrano tra gli approfondimenti della materia ‘Chimica Generale’, inserita nel corso di laurea triennale in Ingegneria Civile erogato dall’Università Telematica Niccolò Cusano.

La formula e l’applicazione della stessa fanno parte, non a caso, del bagaglio formativo di un ingegnere per cui, se la tua ambizione e lavorare in uno dei settori ingegneristici, ti consigliamo di dare un’occhiata alla pagina dei corsi Unicusano e ai vari indirizzi presenti nell’ampio e variegato ventaglio di proposte.
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